设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（

a
b
），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（
1
x-8
）＞2．

答案

（1）取a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0．
（2）函数在（0，+∞）上是单调增函数．
任取x1，x2∈（0，+∞），设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（

x2
x1
），因为0＜x1＜x2，所以
x2
x1
＞1，又当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（x2）-f（x1）=f（
x2
x1
）＞0，即f（x2）＞f（x1）．所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）若f（3）=1，则2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），f（x）-f（
1
x-8
）=f（x（x-8）），则不等式f（x）-f（
1
x-8
）＞2可以化为f（x（x-8））＞f（9），即

解析

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