已知函数f（x）=logax-3x+3，g

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=loga

x-3
x+3
，g（x）=f（x）+x3+2
（1）若g（t）=3求g（-t）的值
（2）若f（x）的定义域为[α，β），值域为（logaa（β-1），logaa（α-1）]
①求证：a＞3
②若函数f（x）为[α，β）上的减函数，求a的取值范围．

答案

（1）由题意得

x-3
x+3
＞0，得x＞3或x＜-3；（1分）
∵f（-x）=loga
-x-3
-x+3
=loga
x+3
x-3
=-loga
x-3
x+3
=f（-x）
∴f（x）为奇函数；（3分）
∵g（x）=f（x）+x3+2，g（t）=3
∴g（t）+g（-t）=f（t）+t3+2+f（-t）+（-t）3+2=4
∴g（t）+g（-t）=4．故g（-t）=1（5分）
（2）由（1）知f（x）的定义域（-∞，-3）∪（3，+∞）
①∵a（α-1）＞0且a＞0，则α＞1，
又∵已知f（x）的定义域为[α，β），
∴β＞α＞3．则α＞3．（8分）
②∵函数y=
x-3
x+3
=1-
6
x+3
在其定义域[α，β）上为增函数，
又∵f（x）在[α，β）上为减函数，∴0＜a＜1；（9分）
∵f（x）的定义域为[α，β），值域为（logaa（β-1），logaa（α-1）]
∴
log
α-3
α+3
a
=logaa（α-1）且
log
β-3
β+3
a
=logaa（β-1），
说明α，β 是方程
x-3
x+3
=a(x-1)的两个相异实数根，且β＞α＞3，
即方程ax2+（2a-1）x+3-3a=0在区间（3，+∞）内有两相异实根．
设h（x）=ax2++（2a-1）x+3-3a，
则有

解析

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