题目

函数f(x)=x+

a

x

（x＞0，a＞0）．
（1）当a=1时，证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）在（0，2）上是减函数，求a的取值范围．

答案

证明：（1）当a=1时，f(x)=x+

1

x

（x＞0，a＞0），f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

．…（2分）
∵x＞1，∴x²＞1，即 x²-1＞0，∴

x2-1

x2

＞0，即 f′（x）＞0，…（5分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数． …（6分）
（2）f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，…（7分）
使f（x）在（0，2）上是减函数，则当x∈（0，2）时，x²-a≤0恒成立，…（9分）
即a≥x²恒成立，即a≥2²=4，∴a≥4．…（12分）

解析