题目

已知f(x)=loga

1+x

1-x

(其中a＞0且a≠1)，定义域为（-1，1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由．
（3）讨论f（x）函数的单调性．

答案

（1）∵函数f（x）的定义域为（-1，1），它关于原点对称，
又f（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）令f（x）=loga

1+x

1-x

=0⇒

1+x

1-x

=1⇒1+x=1-x⇒x=0，
又0∈（-1，1），
故f（x）有零点0；
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga(

1-x2

1-x1

•

1+x1

1+x2

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1-x₂＜1-x₁＜2，0＜1+x₁＜1+x₂＜2，
∴0＜

1-x2

1-x1

＜1，0＜

1+x1

1+x2

＜1，
∴0＜

1-x2

1-x1

•

1+x1

1+x2

＜1，
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）是在定义域上减函数．
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，函数f（x）在定义域上是增函数．

解析