（1）已知函数f(x)=x+4x，(x≠0

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

（1）已知函数f(x)=x+

4
x
，(x≠0)请判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性．
（2）求值：(lg2)2+
4
3
log1008+lg5•lg20+lg25+

解析

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答案

（1）函数f(x)=x+
4
x
，(x≠0)在（2，+∞）上是增函数，
证明如下：设x1＞x2＞2，
则f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-（x2+
4
x2
）=（x1-x2）+
4(x2-x1) 
x1x2

=
(x1-x2)(x1x2-4 ) 
x1x2

∵x1＞x2＞2，∴x1-x2＞0，x1x2＞4，x1x2-4＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数f(x)=x+
4
x
，(x≠0)在（2，+∞）上是增函数．
（2）原式=(lg2)2+2lg 2+lg5•(lg2+1)+2lg5+4+0.3-
2
3
×3 ×9
=（lg2）2+2lg2+lg5•lg2+lg5+2lg5+104
=（lg2）2+lg5•lg2+lg5+106=107．