题目

已知f（x）、g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且f（x）-g（x）=e^x
（Ⅰ）f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

答案

（Ⅰ）∵f（x），g（x）分别为R上的奇函数，偶函数f（x）-g（x）=e^x①∴f（-x）-g（-x）=e^-x∴-f（x）-g（x）=e^-x②①-②得：f(x)=

ex-e-x

2

①+②得：g(x)=-

ex+e-x

2

（Ⅱ）证明：由（1）知f(x)=

ex-e-x

2

所以 f′(x)=

1

2

(ex+e-x)＞0，即导函数在（-∞，+∞）上恒为正值
因此f（x）在（-∞，+∞）上为增函数

解析