题目

某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x²成正比；②当x=

a

2

时，y=a³，并且技术改造投入满足

x

2(a-x)

∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．

答案

（1）由题意，设y=f（x）=k（a-x）•x²
∵当x=

a

2

时，y=a³，∴k=8，∴f（x）=8（a-x）•x²
∵

x

2(a-x)

∈（0，t]，∴x∈（0，

2at

2t+1

]；
（2）f′(x)=-24x2+16ax=-24x(x-

2

3

a)
令f^′（x）=0，∴x=

2

3

a
当t∈（1，2]时，

2at

2t+1

≥

2

3

a，
∴x∈(0，

2

3

a)，f′（x）＞0时，函数单调递增；x∈(

2

3

a，

2at

2t+1

)，f′（x）＜0时，函数单调递减，
∴x=

2

3

a时，ymax=

32

27

a3…（10分）
综上1≤t≤2时，投入

2

3

a万元最大增加值

32

27

a3万元 …（12分）

解析