题目

用函数单调性定义证明，函数f（x）=x³+

1

x

在[1，+∞）上是增函数．

答案

证明：在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=x₂³-x₁³+

1

x1

-

1

x2

=（x₂-x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+

(x2-x1)

x1x2

∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
当x₁x₂＜0时，有x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂＞0；
当x₁x₂≥0时，有x₁²+x₁x₂+x₂²＞0；
∴f（x₂）-f（x₁=（x₂-x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+

(x2-x1)

x1x2

＞0．
即f（x₂）＞f（x₁）
所以，函数f（x）=x³+

1

x

在[1，+∞）上是减函数．

解析