已知a＞1，f（logax）=aa2-1

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知a＞1，f（logax）=

a
a2-1
(x-
1
x
)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明f（x）为R上的增函数；
（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．

答案

（1）令t=logax（t∈R），
则x=at，f（t）=

a
a2-1
(at-
1
at
)，
∴f（x）=
a
a2-1
(ax-
1
ax
)（x∈R）．
（2）当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，y=
1
ax
是减函数，y=-
1
ax
是增函数．
∴y=ax-
1
ax
为增函数，
又∵
a
a2-1
＞0，
∴f（x）=
a
a2-1
(ax-
1
ax
)是R上的增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数，y=
1
ax
是增函数，y=-
1
ax
是减函数．
∴y=ax-
1
ax
为减函数．
又∵
a
a2-1
＜0，
∴f（x）=
a
a2-1
(ax-
1
ax
)是R上的增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x）为R上的增函数．
（3）∵f（-x）=
a
a2-1
(a-x-
1
a-x
)=-
a
a2-1
(ax-
1
ax
)=-f（x），且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
∵f（1-m）+f（1-）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m2），
∴f（1-m）＜f（m2-1），
由（2）可知y=f（x）为R上的增函数，
∴-1＜1-m＜m2-1＜1，
解之得：1＜m＜

解析

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