设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(

难度：一般 题型：解答题 来源：深圳二模

题目

设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-

1
2
，1)，a＞0)
（1）若函数f（x）在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论．

答案

（1）函数的导数f"（x）=2x-

2a
2x+1
=
2(2x2+x-a)
2x+1

∵函数f（x）在其定义域内是减函数
∴f"（x）≤0在x∈(-
1
2
，1)上恒成立
又∵x∈(-
1
2
，1)时，2x+1＞0
∴不等式2x2+x-a≤0在x∈(-
1
2
，1)上恒成立，即a≥2x2+x在x∈(-
1
2
，1)上恒成立
令g（x）=2x2+x，x∈(-
1
2
，1)，则g（x）max=g（1）=3∴a≥3
（2）∵f"（x）=
2(2x2+x-a)
2x+1
，令f"（x）=0
解得x1=
-1-

解析

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