题目

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a），若f′（1）=1．
（1）求a的值并求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=g（x）；
（2）设h（x）=f′（x）+g（x），求h（x）在[0，1]上的最大值与最小值．

答案

（1）f"（x）=3x²-2ax，由f"（1）=1得3-2a=1，所以a=1；
当a=1时，f（x）=x³-x²，f（1）=0，又f"（1）=1，
所以曲线y=f（x）y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-0=1×（x-1），即g（x）=x-1；
（2）由（1）得h(x)=3x2-x-1=3(x-

1

6

)2-

13

12

，
又h（0）=-1，h（1）=1，h(

1

6

)=-

13

12

，
∴h（x）在[0，1]上有最大值1，有最小值

13

12

．

解析