题目

函数f（x）对一切实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）当f（x）+3＜2x+a在（0，

1

2

）上恒成立时，求a的取值范围．

答案

（1）令y=0，x=1代入已知式子f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
得f（1）-f（0）=2，
因f（1）=0所以f（0）=-2
（2）在f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x中令y=0得f（x）+2=（x+1）x
所以f（x）=x²+x-2，
由f（x）+3＜2x+a得x²-x+1-a＜0
因g（x）=x²-x+1-a在（0，

1

2

）上是减函数，
要x²-x+1-a＜0恒成立，只需g（0）≤0即可，即1-a≤0，
∴a≥1．

解析