设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f(1)，f(

1
9
)的值；
（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

答案

（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(

1
9
)=f(1)=0，得f(
1
9
)=2.
（Ⅱ）取定义域中的任意的x1，x2
且0＜x1＜x2⇒
x2
x1
＞1 ⇒f(
x2
x1
)＜0
∴f(x2)=f(
x2
x1
•x1)=f(
x2
x1
)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x）在R+上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
1
9
)，其中0＜x＜2，
由可（Ⅱ）得：

解析

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