题目

已知函数f（x）=1+

m

x

，且f（1）=2，
（1）求m的值；
（2）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

答案

（1）由f（1）=2，得1+m=2，m=1．
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减．
证明：由（1）知，f（x）=1+

1

x

，
设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（1+

1

x1

）-（1+

1

x2

）=

x2-x1

x1x2

．
因为0＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．

解析