设函数f(x)=x+alnxx，其中a为常

难度：一般题型：解答题来源：锦州二模 2023-08-25 06:30:02

题目

设函数f(x)=x+

alnx

，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．

（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的图象过定点（1，1）；
（2）当a=-1时，f(x)=x-

lnx

，f/(x)=1-

1-lnx

x2+lnx-1

令g（x）=x²+lnx-1，经观察得g（x）=0有根x=1，下证明g（x）=0无其它根．g/(x)=2x+

，
当x＞0时，g^/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且当x∈（0，1）时，f/(x)=

g(x)

＜0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f/(x)=

g(x)

＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数
所以x=1是f（x）的唯一极小值点．极小值是f(1)=1-

ln1

=1．
（3）f/(x)=1+

a-alnx

x2-alnx+a

，令h（x）=x²-alnx+a
由题设，对任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=

2x2-a

2(x-