已知函数f（x）=x+x33…+x2m-

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=x+

x3
3
…+
x2m-1
2m-1
，g（x）=
x2
2
+
x4
4
…+
x2n
2n
，定义域为R，m，n∈N•，h1（x）=c+f（x）-g（x），h2（x）=c-f（x）+g（x）
（1）若n=1，m=2，求h1（x）的单调区间；若n=2，m=2，求h2（x）的最小值．
（2）（文科选做）若m=n，c=0时，令T（n）=h2（1），求T（n）的最大值．
    （理科选做）若m=n，c=0时，令T（n）=h1（1），求证：T（n）=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
．
（3）若m=n+1，c=1时，F（x）=h1（x+3）h2（x-2）且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，求b-a的最小值．

答案

（1）n=1，m=2，f（x）=x+

x3
3
，g（x）=
x2
2
，h1（x）=c+x-
x2
2
+
x3
3
，
h"（x）=1-x+x2＞0，所以h1（x）在R上单调增； （2分）
n=2，m=2，f（x）=x+
x3
3
，g（x）=
x2
2
+
x4
4
，h2（x）=c-x+
x2
2
-
x3
3
+
x4
4
，
h2"（x）=-1+x-x2+x3=（x-1）（1+x2），
当x＜1时，h2"（x）＜0，h2"（x）单调递减；当x＞1时，h2"（x）＞0，h2"（x）单调递增；
故x=1时，h2"（x）最小值为c-
7
12
．（5分）
（2）文科：m=n，c=0，
T（n）=h2（1）=-1+
1
2
-
1
3
+…-
1
2n-1
+
1
2n
．
T（n+1）=h2（1）=-1+
1
2
-
1
3
+…-
1
2n-1
+
1
2n
-
1
2n+1
+
1
2n+2
．
知T（n+1）＜T（n），故n=1时，T（n）最大为-
1
2
．
理科：m=n，c=0，T（n）=h1（1）=1-
1
2
+
1
3
+…
1
2n-1
-
1
2n
．
①当n=1时，左边T（1）=1-
1
2
=
1
2
，右边=
1
2
；成立
②假设n=k时成立，则有
T（k）=1-
1
2
+
1
3
+…
1
2k-1
-
1
2k
．
T（k+1）=1-
1
2
+
1
3
+…
1
2k-1
-
1
2k
+
1
2k+1
-
1
2k+2

=T（k）+
1
2k+1
-
1
2k+2
=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
2k
+
1
2k+1
-
1
2
•
1
k+1

=
1
k+2
+…+
1
2k
+
1
2k+1
+
1
2k+2
．
故当n=k+1时也成立．
综上所述，等式成立． （11分）
（3）m=n+1，c=1，h1（x）=1+x-
x2
2
+
x3
3
-…-
x2n
2n
+
x2n+1
2n+1
，（13分）
h
  ′1
（x）=1-x+x2-…-x2n-1+x2n，
=

解析

相关题目