定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝

难度：一般题型：单选题来源：不详 2023-09-11 02:00:02

题目

定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为(　　)．

A．1－2^a	B．2^a－1
C．1－2^－a	D．2^－a－1

答案

解析

当0≤x<1时，f(x)≤0，当x≥1时，函数f(x)＝1－|x－3|，关于x＝3对称，当x≤－1时，函数关于x＝－3对称，由F(x)＝f(x)－a＝0(0<a<1)，得y＝f(x)，y＝a，所以函数F(x)＝f(x)－a有5个零点．当－1≤x≤0时，0<－x≤1，所以f(－x)＝ (－x＋1)＝－log₂(1－x)，即f(x)＝log₂(1－x)，－1≤x<0，由f(x)＝log₂(1－x)＝a，解得x＝1－2^a，如图，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为x＝1－2^a.