题目

设函数.
（1）讨论的奇偶性；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．

答案

(1)当a=0是偶函数；当a0时函数f(x)为非奇非偶函数
(2) 原函数的减区间为（-，），增区间为（，+）；(3)

解析

试题分析：解：（1）i)当a=0时：f(x)=x+
∵f(-x)="(-x)+" =x+=f(x)
函数f(x)为偶函数3分
ii)当a0时：
∵f(1)=1+,f(-1)=1+
若f(1)=f(-1)，则1+=1+从而a=0,舍去；
若f(1)=-f(-1)，则+=-2从而a
 f(1)±f(-1)，函数f(x)为非奇非偶函数6分
（2）当a=2时：
f(x)=x+=
原函数的减区间为（-，），增区间为（，+）；10分
（3）∵x(-1,3)
f(x)<10可变为x-10<a-x< 10-x
即
对（*）：令g(x)= x+x-10,其对称轴为
 ③
对②令
④
由③、④知： 16分
点评：主要是考查了函数奇偶性和单调性以及函数的最值的运用，属于基础题。