题目

设函数是定义在区间上的偶函数,且满足
（1）求函数的周期；
（2）已知当时，.求使方程在上有两个不相等实根的的取值集合M.
(3)记,表示使方程在上有两个不相等实根的的取值集合,求集合.

答案

（1）是以2为周期的函数；（2）的取值集合为=；
（3）。

解析

试题分析：（1）因为
所以，是以2为周期的函数 3分
（2）当时，即
可化为: 且,
平面直角坐标系中表示以（0，1）为圆心，半径为1的半圆  5分
方程 在上有两个不相等实根即为直线与该半圆有两交点
记A(-1,1), B(1,1)，得直线OA、OB斜率分别为-1，1  6分
由图形可知直线的斜率满足且时与该半圆有两交点
故所求的取值集合为=  8分
（3）函数f(x)的周期为2 ,  9分
当时，，
的解析式为：.  即
可化为: 且  12分
平面直角坐标系中表示以（2k，1）为圆心，半径为1的半圆
方程 在上有两个不相等实根即为直线与该半圆有两交点
记，得直线的斜率为  13分
由图形可知直线的斜率满足时与该半圆有两交点
故所求的取值集合为 14分
点评：难题，本题将集合、函数的性质、直线与圆的位置关系综合在一起考查，增大了“阅读理解”的难度。解答过程中，注意数形结合加以研究，是正确解题的关键。