题目

（本题满分14分）
已知函数.
(Ⅰ) 讨论的奇偶性；
（Ⅱ）判断在上的单调性并用定义证明.

答案

(Ⅰ) 当时，为奇函数;当时，不具备奇偶性
（Ⅱ）证明略

解析

(Ⅰ)函数的定义域为关于原点对称. ……………1分
方法1、，…………………………2分
若，则，无解， ∴不是偶函数; …………………4分
若，则，显然时，为奇函数……………………6分
综上，当时，为奇函数;当时，不具备奇偶性. ………7分
方法2、函数的定义域为关于原点对称. ……………1分
当时，，，∴，
∴为奇函数; ………………………………………………4分
当时，，，显然
∴不具备奇偶性. …………………………………………7分
（Ⅱ）函数在上单调递增; ………………………8分
证明:任取且，则
……………11分
∵且， ∴，，
从而， 故，…………………………13分
∴在上单调递增. ………………………………14分