题目

定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，
都有. 求证f (x)为奇函数；

答案

证明略

解析

欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充
分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理
“赋值”
令x = y = 0，则
f (0) + f (0) =
 ∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0
∴ f (－x) =－f (x)
∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数
对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x₁) －f (x₂) = f (x₁) + f (－x₂)