题目

已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。

答案

符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.

解析

∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数。于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),
即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos²θ－mcosθ+2m－2>0。
设t=cosθ,则问题等价地转化为函数
g(t)=t²－mt+2m－2=(t－)²－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正。
∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；
当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>0
4－2<m<4+2,∴4－2<m≤2.
当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1 ∴m>2
综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.
另法(仅限当m能够解出的情况) cos²θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0,］恒成立，
等价于m>(2－cos²θ)/(2－cosθ) 对于θ∈［0,］恒成立
∵当θ∈［0,］时，(2－cos²θ)/(2－cosθ) ≤4－2，
∴m>4－2.