题目

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）不等式f（x）≥a²-4a-15恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴

a

b

=10②，
又f（x）≥2x恒成立，有x²+x•lga+lgb≥0恒成立，
故△=（lga）²-4lgb≤0．
将①式代入式得：（lgb）²-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，
故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100．
（2）要使f（x）≥a²-4a-15恒成立，只需a²-4a-15≤f（x）_min，
由（1）知f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3≥-3，
∴a²-4a-15≤-3，解得-2≤a≤6，
故实数a的取值范围是[-2，6]．

解析