题目

已知函数f(x)=

px2+2

-3x

，且f(2)=-

5

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．

答案

（1）由题意知f(2)=-

5

3

，f(x)=

px2+2

-3x

即f(2)=

4p+2

-6

=-

5

3

，解得p=2
则所求解析式为f(x)=

2x2+2

-3x

（2）由（1）得，f(x)=

2x2+2

-3x

，则此函数的定义域是{x|x≠0}，
∵f（-x）=

2x2+2

3x

=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（3）由（1）可得f(x)=

2x2+2

-3x

=-

2

3

(x+

1

x

)，则函数f（x）在区间（0，1）上是增函数，
证明如下：设0＜x₁＜x₂＜1，
∴f(x1)-f(x2)=

2

3

[(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)]=

2

3

[(x2-x1)+(

1

x2

-

1

x1

)]
=

2

3

[(x2-x1)+

x1-x2

x1x2

]=

2

3

(x1-x2)(

1

x1x2

-1)=

2

3

(x1-x2)×

1-x1x2

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，0＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在区间（0，1）上是增函数．

解析