已知函数f(x)=a-1|2x-b|是偶函

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=a-

1
|2x-b|
是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
（3）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

答案

（1）由已知可得，f(x)=a-

1
|2x-b|
，
且函数的定义域为D=(-∞，
b
2
)∪(
b
2
，+∞)．
又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D，有f（x）=f（-x），可得b=0．
因此所求实数b=0．…（3分）
（2）由（1）可知，f(x)=a-
1
2|x|
(D=(-∞，0)∪(0，+∞))．
由f(x)=a-
1
2|x|
的图象，
知：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数
又n＞m＞0，
∴y=f（x）在区间[m，n]上是增函数．
∴有

解析

相关题目