题目

已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．
（1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数．求x＜0时，F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设g(x)=log4(2x-1-

4

3

a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵x＞0时，F（x）=m（x）=log4(4x+1)，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴F（-x）=log4(4-x+1)，又F（x）为R上的奇函数，
∴-F（x）=log4(4-x+1)，即F（x）=-log4(4-x+1)…（3分）
（2）∵函数f（x）=m（x）+n（x）=log4(4x+1)+kx为偶函数，
∴f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，…（5分）
而log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x，
∴-x-kx=kx恒成立，
∴2k+1=0，
∴k=-

1

2

…（7分）
（3）∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
∴方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(2x-1-

4

3

a)有且只有一个实根，…（8分）
化简得：方程2^x+

1

2x

=2^x-1-

4

3

a有且只有一个实根，…（9分）
令t=2^x＞0，则方程

1

2

t²+

4

3

at+1=0有且只有一个正根，
①△=0⇒a=-

3 解析 相关题目 已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x) 已知函数f（x）在（-∞，2]为增函数，且f（x 已知f（x）是定义在R上的函数，有下列三 若函数f（x）=1+2mx+（m2-1）x2是偶 【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+bx+ 设函数f（x）=x2sinx+2，若f（a）=1 设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）= 函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，则实 定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1 已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且满 闽ICP备2021017268号-8