题目

定义在R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）设曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取值范围．

答案

（1）∵R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函数
∴f（0）=0，解得b=0
∴f(x)=

x

ax2+1

∴f′（x）=

ax2+1-x×2ax

(ax2+1)2

=

-ax2+1

(ax2+1)2

∵当x=1时，f（x）取得最大值
∴f′（1）=

-a +1

(a+1)2

=0
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=

x

x2+1

，f′（x）=

-x2+1

(x2+1)2

∴f′（x₀）=

-x02+1

(x02+1)2

∴曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l为：y-

x0

x02+1

=

-x02+1

(x02+1)2

×(x-x0)
令x=0，则y=

x0

x02+1

+

-x02+1

(x02+1)2

×(0-x0)
∴t=

2x03

(x02+1)2

∴t′=

2x02(x02+1)(3-x02)

(x02+1)4

由t′＞0，可得3-x0 2＜0，解得-

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