已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+

难度：一般 题型：解答题 来源：黄浦区一模

题目

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．
（1）证明数列{

an
2n
}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式an；
（2）求等差数列{bn}（n∈N*），使b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1对n∈N*都成立；
（3）令cn=nbn（n∈N*），是否存在正常数M，使
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
＜M对n∈N*恒成立，并证明你的结论．

答案

（1）∵a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*），∴

an+1
2n+1
=
an
2n
+
1
2
，
an+1
2n+1
-
an
2n
=
1
2
．…（3分）
∴数列{
an
2n
}是以
a1
2
为首项，公差为
1
2
的等差数列，且
an
2n
=
a1
2
+
1
2
(n-1)．…（5分）
∴an=n•2n-1（n∈N*）．…（6分）
（2）设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则bn=b1+（n-1）d（n∈N*）．…（7分）
考察等差数列，易知：b1+bn+1=b2+bn=b3+bn-1=…=bn+1+b1．
又 b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn-1+bn-1Cnn-2+…+b1Cn0=an+1，
两式相加，利用组合数的性质Cnm=Cnn-m化简，得（b1+bn+1）（Cn0+Cn1+…+Cnn）=2an+1，即b1+bn+1=2n+2．…（10分）
再分别令n=1，n=2，得

解析

相关题目