题目

已知函数g(x)=

1-x2

1+x2

(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

答案

（1）由y=

1-x2

1+x2

得x2=

1-y

1+y

＞0，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数；
（2）设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

1

x 21

-

x

21

-

1

x 22

+

x

22

=(x2-x1)(x2+x1)(1+

1

x 21 x 22

)，
①如果x₁，x₂∈（-1，0），那么x₁+x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）；
②若x₁，x₂∈（0，1），则x₁+x₂＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减；
（3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故

解析 相关题目 已知函数g(x)=1-x21+x2(x 已知α为锐角，且tanα=2-1，函 设函数f（x）=|-x2+2bx+c|，x∈[- 已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）． 已知f(x)=x2-6x-3x+1，g（ 已知函数f（x）=log21-x1+x，若 在给定的函数中：①y=-x3；②y=2-x；③y 下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，+ 已知定义域为R的偶函数f（x）在（-∞，0]上 已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上 闽ICP备2021017268号-8