题目

将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=

x+m

x-1

的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数f(x)=(x-

2

3

)(|x+t|+|x-3|)-4的图象关于点(

2

3

，f(

2

3

))成中心对称，求t的值．

答案

（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为(

kπ

2

，0)（k∈N^*）．…（2分）
当k=2n（n∈N^*）时，tan(

kπ

2

+x)+tan(

kπ

2

-x)=tanx-tanx=0；
当k=2n+1（n∈N^*）时，tan(

kπ

2

+x)+tan(

kπ

2

-x)=-cotx+cotx=0，得证． …（6分）
（2）由f(x)=

x+m

x-1

=1+

m+1

x-1

，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=

x+1+m

x+1-1

+

1-x+m

1-x-1

=

x+1+m

x

+

-x+1+m

-x

=2，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数f(x)=

x+m

x-1

的图象关于点（1，1）成中心对称． …（12分）
（3）由结论②F(x)=f(x+

2

3

)-f(

2

3

)=x(|x+

2

3

+t|+|x-

7

3

|)为奇函数，…（14分）
其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x+

2

3

+t|+|x-

7

3

|为偶函数
于是，由h（x）=h（-x）可得|x+

2

3

+t|+|x-

7

3

|=|x-(

2

3

+t)|+|x+

7

3

|，…（16分）
因此，

2

3

+t=

7

3

，解得t=

5

3

为所求． …（18分）

解析