题目

（文）对于任意x∈(0，

π

2

]，不等式psin²x+cos⁴x≥0恒成立，则实数p的最小值为______．

答案

∵psin²x+cos⁴x≥0，
∴p（1-cos²x）+cosx⁴≥0，
-（cos²x+

p

2

）²-p+

1

4

p²≥0，
（cos²x-

p

2

）²≤p-

1

4

p²（1）
当p-

1

4

p²＜0时（1）式显然不成立，
  p≥4或p≤0，
当0≤p≤2即0＜

p

2

≤1，p-

1

4

p²≥0，
0≤（cos²x-

p

2

）²≤

1

4

p²≤p-

1

4

p²，0≤p≤2，
  2≤p≤4，0≤（cos²x-

p

2

）²≤

1

4

p²≤p-

1

4

p²，p=2，
  p的最小值为0．
故答案为：0．

解析