题目

已知函数f（x）=

x2

1+x2

（x≠0）
（1）求f（2），f(

1

2

)，f(

1

x

)
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f(

1

x

)有什么关系吗？如果能，请求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（10）+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

10

)的值．

答案

（1）∵f(x)=

x2

1+x2

（x≠0），
∴f(2)=

22

1+22

=

4

5

，
f(

1

2

)=

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

1

5

，
f(

1

x

)=

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

1

1+x2

．…（4分）
（2）∵f(x)+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1，
∴f(2)+f(

1

2

)=1，f(3)+f(

1

3

)=1，…，f(10)+f(

1

10

)=1，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

10

)
=f(1)+[f(2)+f(

1

2

)]+[f(3)+f(

1

3

)]+…+[f(10)+f(

1

10

)]
=

1

2

+1×9=

19

2

．…（10分）

解析