题目

已知函数f(x)=alnx+

1

x

．
（1）当a＞0时，求该函数的单调区间和极值；
（2）当a＞0时，若对∀x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围．

答案

（1）令f/(x)=

a

x

-

1

x2

＞0⇒x＞

1

a

⇒函数f（x）的单调增区间是(

1

a

，+∞)；
令f/(x)=

a

x

-

1

x2

＜0⇒x＜

1

a

⇒函数f（x）的单调减区间是(0，

1

a

)，且当x=

1

a

时，函数有极小值且极小值为f(

1

a

)=a(1-lna)；
（2）当a＞0时，若对∀x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，即∀x＞0，2a≤alnx+

1

x

成立，则必须∀x＞0，2a≤f（x）_min．
而由（1）知，函数f（x）的极小值即为最小值，
于是：2a≤f（x）_min=a（1-lna），解之得：0＜a≤

1

e

．

解析