题目

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

1

x

-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f"（x）为f（x）的导函数，且x∈[

1

2

，2]时，|f"（x）|＜1，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），则

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[

1

x1

-alnx1+

1

x2

-alnx2]=

x1+x2

2x1x2

-aln

解析 相关题目 如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x 函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数且f（x） 知f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定 已知函数f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2 已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）． 若关于x的不等式ax2+ax-1＜0解集为R， 已知函数f(x)=lg(21+x-1)，则 已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n 已知f（x）为偶函数，它在零到正无穷上是 定义在[-4，4]上的偶函数f（x）在区间[0， 闽ICP备2021017268号-8