题目

设函数f(x)=-

1

3

x3+ax2-2ax-2（a为常数），且f（x）在[1，2]上单调递减．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a取得最大值时，关于x的方程f（x）=x²-7x-m有3个不同的根，求实数m的取值范围．

答案

（1）依题意得：f"（x）=-x²+2ax-2a∵f（x）在[1，2]上单调递减
∴f"（x）=-x²+2ax-2a≤0在[1，2]恒成立
即：当x=1时，a∈R当x≠1时，2a≤

x2

x-1

在（1，2]恒成立
记g(x)=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2则g_min（x）=4
∴只须a≤2
综上，a≤2
（2）当a=2时，方程f（x）=x²-7x-m有3个不同根等价于

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3个不同根
记g(x)=

x3

3

-x2-3x+2-m则g"（x）=x²-2x-3
令g"（x）＞0得x＜-1或x＞3令g"（x）＜0得-1＜x＜3
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减
∴g_极小（x）=g（3）=-7-mg极大(x)=g(-1)=

11

3

-m
要使

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3个不同根
只须

解析 相关题目 设函数f(x)=-13x3+ax2-2a 已知函数f（x）=x|x|．当x∈[a，a+1] 已知a，b∈R，函数f（x）=x3+ax2+bx 若奇函数f（x）在[2，5]上为增函数，且有最 如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x 函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数且f（x） 知f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定 已知函数f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2 已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）． 若关于x的不等式ax2+ax-1＜0解集为R， 闽ICP备2021017268号-8