对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（
难度：一般
题型：填空题
来源：不详
题目
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f"（x）是函数y=f（x）的导数，f""是f"（x）的导数，若方程f""（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=
x3-
x2+3x-，请你根据这一发现，求：
（1）函数f(x)=
x3-
x2+3x-对称中心为______；
（2）计算f()+f()+f()+f()+…+f()=______． |
答案
（1）依题意，得：f′（x）=x2-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=，
又 f（）=1，
∴函数f(x)=
x3-
x2+3x-的对称中心为（，1）；
（2）由（1）知，若（a，b）与（c，d）为f（x）图象上的点，且关于点（，1）对称，则有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，
设S=f()+f()+f()+f()+…+f()，
又S=f（）+f（）+f（）+f（）+…+f（），
所以2S=[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]=2×2010，
所以S=2010，即f()+f()+f()+f()+…+f()=2010．
故答案为：（1）（，1）；（2）2010． |
解析
