已知函数f（x）=lnx+b•x2的图象过点（1

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=lnx+b•x2的图象过点（1，0）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(x)≥

t
x
-1nx(t为实数）恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当m＞0时，讨论F(x)=f(x)+
x2
2
-
m2+1
m
x在区间（0，2）上极值点的个数．

答案

（I）∵函数f（x）=1nx+b•x2的图象过点（1，0），
∴0=ln1+b•12，解得b=0，∴f（x）的解析式为f（x）=1nx；
（Ⅱ）f(x)≥

t
x
-1nx恒成立，即lnx≥
t
x
-1nx，由x＞0可得t≤2xlnx，
构造函数h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤hmin（x）即可，
可得h′（x）=2（lnx-1），故当x∈（0，
1
e
）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x∈（
1
e
，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
故hmin（x）=h（
1
e
）=-
2
e
，故t≤-
2
e
；
（Ⅲ）由（I）知，f（x）=1nx，F(x)=lnx+
x2
2
-
m2+1
m
x，（x＞0）
∴F′(x)=
1
x
+x-
m2+1
m
=
(x-m)(x-
1
m
)
x
，令其为0可得x=m，或x=
1
m
，
（1）当m=
1
m
时，m=1，F′（x）＞0，函数在（0，2）为增函数，无极值点；
（2）当

解析

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