题目

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

答案

（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f"（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³-12x．
所以f′(x)=6x2-12=6(x+