题目

（文科）已知函数f(x)=

1

3

ax3+bx2+2x-1，g(x)=-x2+x+1，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的一个公共点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（文科）（1）∵g(1)=1=f(1)=

1

3

a+b+1⇒a+3b=0．
又g"（x）=-2x+1，∴g"（1）=-1．
∵两双曲线在点P处的切线互相垂直，
∴f"（1）=1．
∵f"（x）=ax²+2bx+2，
∴f"（1）=a+2b+2=1，
∴

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