设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．（

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[

1
e
-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）关于x的方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

答案

解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′(x)=2x+2-

2
x+1
=
2x(x+2)
x+1
．
由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，
∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[
1
e
-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
∴f（x）min=f（0）=0
又∵f(
1
e
-1)=
1
e2
+1，f（e-1）=e2-3，且e2-3＞
1
e2
+1，
∴x∈[
1
e
-1，e-1]时，f（x）max=e2-3．
∵不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立，
∴

解析

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