已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=

x2+2x+a
x
，x∈[1，+∞)．
（I）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（II）若对任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，求实数x的取值范围．

答案

（I）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即

x2+2x+a
x
＞0，x∈[1，+∞)恒成立，
亦即x2+2x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，
即a＞-x2-2x，x∈[1，+∞）恒成立，
即a＞（-x2-2x）max，x∈[1，+∞），
而（-x2-2x）max=-3，x∈[1，+∞），
∴a＞-3．
所以对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，实数a的取值范围为{a|a＞-3}；（6分）
（II）∵a∈[-1，1]时，f（x）＞4恒成立，即
x2+2x+a
x
＞4，x∈[1，+∞)恒成立；
∴x2-2x+a＞0对a∈[-1，1]恒成立，
把g（a）=a+（x2-2x）看成a的一次函数，
则使g（a）＞0对a∈[-1，1]恒成立的条件是

解析

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