已知函数f（x）=x3-3|x-a|+λ•sin

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=x3-3|x-a|+λ•sin（π•x），其中a，λ∈R；
（1）当a=0时，求f（1）的值并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当a=0时，若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线经过坐标原点，求λ的值；
（3）当λ=0时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

答案

（1）a=0时f（x）=x3-3|x|+λ•sin（π•x）
f（-1）=-4，f（1）=-2，
所以f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
所以f（x）时非奇非偶函数
（2）x＞0时，f（x）=x3-3x+λsin（πx），所以f"（x）=3x2-3+λπcos（πx）
所以在x=1处的切线方程为y+2=-λπ（x-1）
因为过原点，所以λ=

2
π

（3）当a≤0时，x∈[0，2]上f（x）=x3-3x+3a，f"（x）=3x2-3，
所以f（x）在[0，1]内单调递减，[1，2]递增，所以ymin=f（1）=3a-2
当a≥2时，x∈[0，2]上f（x）=x3+3x-3a，f"（x）=3x2+3＞0，
所以f（x）单调递增，ymin=f（0）=-3a
当0＜a＜2时，f(x)=

解析

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