题目
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,求实数a的取值范围.
答案
因为f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a>0)
所以f"(x)=2x-(2a+1)+
a |
x |
(2x-1)(x-a) |
x |
令f"(x)=0则x1=
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(i)当0<a<
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由f"(x)<0得,x∈(a,
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所以函数f(x)的单调递减区间是(a,
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(ii)a=
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所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)
(iii)当a>
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所以函数f(x)的单调递增区间是(0,
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由f"(x)<0得x∈(
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所以函数f(x)的单调递减区间是(
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(II)要使函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,即
函数f(x)在[1,2]上不是单调递减函数.
由(I)可知,函数f(x)在[1,2]上单调递减时,a∈[2,+∞)
所以a∈(0,2)时,函数f(x)在[1,2]上不是单调递减函数.
所以函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,
实数a的取值范围是(0,2).