已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx

难度:一般 题型:解答题 来源:不详

题目

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a>0)
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,求实数a的取值范围.

答案

(I)函数y=f(x)的定义域为:(0,+∞)
因为f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a>0)
所以f"(x)=2x-(2a+1)+

a
x
=
(2x-1)(x-a)
x

令f"(x)=0则x1=
1
2
,x2=a
(i)当0<a<
1
2
时,由f"(x)>0得x∈(0,a),(
1
2
,+∞)
由f"(x)<0得,x∈(a,
1
2

所以函数f(x)的单调递减区间是(a,
1
2

(ii)a=
1
2
时,f"(x)≥0
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)
(iii)当a>
1
2
时由f"(x)>0得x∈(0,
1
2
),(a,+∞)
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,
1
2
),(a,+∞)
由f"(x)<0得x∈(
1
2
,a)
所以函数f(x)的单调递减区间是(
1
2
,a)
(II)要使函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,即
函数f(x)在[1,2]上不是单调递减函数.
由(I)可知,函数f(x)在[1,2]上单调递减时,a∈[2,+∞)
所以a∈(0,2)时,函数f(x)在[1,2]上不是单调递减函数.
所以函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,
实数a的取值范围是(0,2).

解析

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