题目

f（x）=ax³+bx²+cx+d，定义y=f″（x）是函数y=f′（x）的导函数．若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．根据这一发现，对于函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

，则g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值为______．

答案

依题意，得：g′（x）=x²-x+3，∴g″（x）=2x-1．
由g″（x）=0，即2x-1=0，得：x=

1

2

，
把x=

1

2

代入函数g（x）的解析式得：g（

1

2

）=

3

2

，
∴函数g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x+

1

12

对称中心为（

1

2

，

3

2

）．
则g(

1

2012

)+g(

2011

2012

)=g(

2

2012

)+g(

2010

2012

)=…=2g(

1006

2012

)=2g(

1

2

)．
所以，g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）的值为2011g(

1

2

)=2011×

3

2

=

6033

2

．
故答案为

6033

2

．

解析