题目

已知函数f(x)=

1-a+lnx

x

，a∈R．
（1）求f（x）的极值；
（2）若关于x的不等式

lnx

x

≤e(

2

k+1

-2)在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）证明：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

(n∈N*，n≥2)．

答案

（1）f′(x)=

a-lnx

x2

，令f"（x）=0，得x=e^a，当x∈（0，e^a）时，f"（x）＞0
函数f（x）为增函数，当x∈（e^a，+∞）时，f"（x）＜0，函数f（x）为减函数，
故f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a，（5分）
（2）由（1）知f(x)≤

1

ea

，令a=1，
则

lnx

x

≤

1

e

，
故只需

-2k

k+1

≥-1，所以得-1＜k≤1（10分）
（3）由（1）知f（x）≤e^-a，令a=0，则有lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2∴lnn²≤n²-1，
∴

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，
故

ln22

22

+

ln32

32

++

lnn2

n2

≤(1-

1

22

)+(1-

1

32

)++(1-

1

n2

)
=(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)＜(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)
=(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)=

2n2-n-1

2(n+1)

（14分）

解析