题目

设函数f(x)=

sinx

2+cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′(x)=

(2+cosx)cosx-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

2cosx+1

(2+cosx)2

．（2分）
当2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

（k∈Z）时，cosx＞-

1

2

，即f"（x）＞0；
当2kπ+

2π

3

＜x＜2kπ+

4π

3

（k∈Z）时，cosx＜-

1

2

，即f"（x）＜0．
因此f（x）在每一个区间(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间(2kπ+

2π

3

，2kπ+

4π

3

)（k∈Z）是减函数．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），则g′(x)=a-

2cosx+1

(2+cosx)2

=a-

2

2+cosx

+

3

(2+cosx)2

=3(

1

2+cosx

-

1

3

)2+a-

1

3

．
故当a≥

1

3

时，g"（x）≥0．
又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
当0＜a＜

1

3

时，令h（x）=sinx-3ax，则h"（x）=cosx-3a．
故当x∈[0，arccos3a）时，h"（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．
故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，当x∈（0，arccos3a）时，f(x)=

sinx

2+cosx

＞

sinx

3

＞ax．
当a≤0时，有f(

π

2

)=

1

2

＞0≥a•

π

2

．
因此，a的取值范围是[

1

3

，+∞)．（12分）

解析