已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（1）若f

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：

1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，b=a+c，
∵△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2，
当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）

1
2
[f（x1）+f（x2）]-f（
x1+x2
2
）=
1
2
（ax12+bx1+c+ax22+bx2+c）-[a(
x1+x2
2
)2+b•
x1+x2
2
+c]
=a[
x12
2
+
x22
2
-(
x1+x2
2
)2]=
1
4
a(x1-x2)2，
因为a＞0，x1＜x2，f（x1）≠f（x2），
所以
1
4
a(x1-x2)2＞0，故
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）；
（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）min=0，
∴-
b
2a
=-1，
4ac-b2
4a
=0⇒b=2a，b2=4ac⇒4a2=4ac⇒a=c，
由②知对∀x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
（x-1）2，
令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1，
由

解析

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