已知函数g(x)=4x-n2x是奇函数，

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数g(x)=

4x-n
2x
是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设h(x)=f(x)+
1
2
x，若g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵g（x）为奇函数，且定义域为R∴g（0）=

1-n
1
=0，解得n=1
∵f（x）=lg（10x+1）+mx是偶函数．
∴f（-x）=lg（10-x+1）-mx=lg
10x+1
10x
-mx=lg（10x+1）-x-mx=lg（10x+1）-（m+1）x
=f（x）=lg（10x+1）+mx∴m=-（m+1），∴m=-
1
2
∴m+n=
1
2


（2）∵h(x)=f(x)+
1
2
x=lg（10x+1） 
∴h[lg（2a+1）]=lg[10lg（2a+1）+1]=lg（2a+2）
∵g(x)=
4x-1
2x
=2x-2-x
∴g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）＜2x-2-x对任意x≥1恒成立
取x1＞x2≥1，则g（x1）-g（x2）=（2 x1 -2x2）
2x1•2x2-1
2x1•2x1
＞0
即当x≥1时，g（x）是增函数，∴g（x）min=f（1）=
3
2

由题意得2a+2＜10
3
2
，2a+1＞0，2a+2＞0，
解得-
1
2
＜a＜5

解析

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