已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e

难度：一般 题型：解答题 来源：烟台一模

题目

已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x2-tx-2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

答案

（I）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x-y=0平行，
得该切线斜率为2，即f"（e）=2．
又∵f"（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．

（II）由（I）知f"（x）=lnx+1，
显然f"（x）=0时x=e-1当x∈(0，

1
e
)时f"（x）＜0，
所以函数f(x)在(0，
1
e
)上单调递减．
当x∈(
1
e
，+∞)时f"（x）＞0，
所以函数f（x）在(
1
e
，+∞)上单调递增，
①
1
e
∈[n，n+2]时，f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e
；
②
1
e
≤n＜n+2时，函数f（x）在[n，n+2]上单调递增，
因此f（x）min=f（n）=nlnn；
所以f(x)min=

解析

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