已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（1
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（）=1，满足f（x）-f（y）=f（），且数列x1=，xn+1=．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）求f（xn）的表达式；
（Ⅲ）若a1=1，an+1=f（xn）-an，（n∈N+）．试求an． |
答案
（Ⅰ）因为f（x）定义在（-1，1）上满足f（x）-f（y）=f（），
所以当x=y=0时，可得f（0）=0，当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），
即f（-y）=-f（y），所以f（-x）=-f（x），
即f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（Ⅱ）因为f(xn-1)=f()=f()=f(xn)-f(-xn)=2f(xn)，
所以=2，又f(x1)=f()=1，
所以f（xn）}为等比数列，其通项公式为f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1．…..（6分）
（3）因为+an+1=6n，所以an+1+an+2=6（n+1），两式相减，得an+2-=6，
所以{a2n-1}与{a2n}均为公差为6 的等差数列，
所以易求得= |
